倒数第6天三角与向量[保温特训]1．已知α∈，且cosα＝－，则tanα＝________.解析利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sinα＝－，所以tanα＝＝＝2.答案22．sin2－cos2的值是________．解析利用二倍角的余弦公式求解．sin2－cos2＝－cos＝0.答案03．已知tan(α＋β)＝，tanβ＝－，则tanα＝________.解析tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝1.答案14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，∠C＝，则△ABC的面积为________．解析由正弦定理得sinB＝＝，所以B＝＝A，所以a＝b＝1，故△ABC的面积为absinC＝.答案5．设D，P为△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD＋BC，则＝________.解析取BC的中点为P，则AD＝(AB＋AC)＝AP，则点D是中线AP的中点，所以＝.答案6．若函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则cos＝________.解析因为函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝，故cos＝cos＝.答案7．若sin＝，则cos＝________.解析由诱导公式可得cos＝sin＝，所以cos＝2cos2－1＝－1＝－.答案－8．若α，β∈(0，π)，cosα＝－，tanβ＝－，则α＋2β＝________.解析由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tanα＝－，tanβ＝－，所以tan2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.答案9．在△ABC中，若A＝30°，b＝2，且2BA·BC－AB2＝0，则△ABC的面积为________．解析因为2BA·BC－AB2＝0，所以2accosB－c2＝0⇒a2＋c2－b2＝c2⇒a＝b＝2，所以∠A＝∠B＝30°，∠C＝120°，所以△ABC的面积为×2×2×＝.答案10．已知函数f(x)＝1－sin2x＋2cos2x，则函数y＝f(x)的单调递减区间为________．解析因为f(x)＝1－sin2x＋2cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋2cos，当2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z时函数递减，所以递减区间是(k∈Z)．答案(k∈Z)11．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.解析在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BCtan60°＝30.答案3012．在△ABC中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足AP＝sin2θ·AO＋cos2θ·AC(θ∈R)，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．解析因为AP＝sin2θ·AO＋cos2θ·AC(θ∈R)，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以C、P、O三点共线，且sin2θ，cos2θ∈[0,1]，所以点P在线段OC上，设|PO|＝t(t∈[0,2])，故(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝2t(2－t)·(－1)＝2t2－4t，当t＝1时，取最小值－2.答案－213．已知函数f(x)＝sinx＋cosx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是________．解析由条件可得，长度最小的定义域可能是，此时b－a＝，长度最大的定义域可能是，此时b－a＝，即b－a的取值范围是.答案14．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则＋＋的最大值为________．解析由三角形的面积公式得c2＝absinC⇒＝sinC，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC⇒＋＝＋2cosC＝sinC＋2cosC，所以＋＋＝2sinC＋2cosC＝2sin，最大值是2.答案2[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x的系数的正负，最好经过变形使x的系数为正．3．求y＝sinωx的周期一定要注意ω的正负．4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？5．由y＝sinx―→y＝Asin(ωx＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)．7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘．8．在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB.9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R.10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？11．a＝0，则a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b，a·b＝0.12．由a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．
