第2讲直线与圆基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sinMCA∠＝________．解析由弦切角定理得，MCA∠＝∠ABC，sinABC∠＝＝＝＝，则sinMCA∠＝.答案2．(·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．解析由题意QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PA＝4，∵PA＝PB，∴PB＝4.答案43.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．解析因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，因为CF∥BD，所以＝即＝，BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以DC·DA＝BD2即4x2＝，所以x＝.答案4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________．解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案25.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB⊥，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________．解析由题意知，AB＝6，AE＝1，BE∴＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在RtDEB△中，∵EFDB⊥，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案56.如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________．解析∵PB切⊙O于点B，PBA∴∠＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，DBA∴∠＝∠ACB，又∠A是公共角，ABDACB.∴∴△∽△＝，AB2∴＝AD·AC＝mn，AB∴＝.答案7.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______．解析∵AC、AD分别是两圆的切线，C∴∠＝∠2，∠1＝∠D，ACBDAB.∴△∽△∴＝，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.AB∴＝2(舍去负值)．答案28．(·湖南卷)如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．解析由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，CD∴＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，OE∴＝＝＝.答案9.(·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BDCD⊥，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析在RtACB△中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，ABC∴∠＝30°.AB∵＝20，AC∴＝10，BC＝10.CD∵为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.BDC∵∠＝90°，∴BD＝15，CD＝5.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5)2＝15DE，∴DE＝5.答案5二、解答题10.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．(1)证明∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO，A∵C平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，DAC∴∠＝∠ACO，∴OCAD.∥(2)解∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OCCD⊥，由(1)知OC∥AD，∴ADDC⊥，即∠ADC＝90°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，ACB∴∠＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠DAC＝∠BAC，ADCACB∴△∽△，∴＝，AD∵＝2，AC＝，∴AB＝.11.(·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在RtBDA△与RtACB△中，AB＝BA，AC＝BD，从而RtBDARtACB△△≌，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.12.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，AFB∠＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以＝，所以FB2＝FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，DAC∠＝∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BCtan∠ABC＝2，所以AD＝＝4(cm)．
