第2讲参数方程基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．(·芜湖模拟)直线(t为参数)上与点A(－2，3)的距离等于的点的坐标是________．解析由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2)．答案(－3，4)或(－1，2)2．(·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________．解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2，0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.答案±3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．解析当t＝时，x＝1，y＝2，则M(1，2)，∴直线OM的斜率k＝2.答案24．(·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析∵x＝t，且y＝t－a，消去t，得直线l的方程y＝x－a，又x＝3cosφ且y＝2sinφ，消去φ，得椭圆方程＋＝1，右顶点为(3，0)，依题意0＝3－a，∴a＝3.答案35．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．解析曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0，1)到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.答案6．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1l2∥，则k＝________；若l1l2⊥，则k＝________．解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1l2∥，得＝≠⇒k＝4，由l1l2⊥，得2k＋2＝0⇒k＝－1.答案4－17．(·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．解析由∴y－x＝1，①由ρsin2θ－4cosθ＝0，ρ2sin2θ∴－4ρcosθ＝0，即y2－4x＝0，②由①②得∴ρ＝＝.答案8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3，0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.答案19．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝______．解析ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的直角坐标方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.答案二、解答题10．(·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.11．(·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹通过坐标原点．12．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．
