第2讲不等式的证明基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．(·江苏卷改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________．解析由柯西不等式(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝1，2x2∴＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．答案3．若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．解析由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，需解方程组∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案4．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系为________．解析∵a≠b，∴＋＞2，＋＞2，∴＋＋＋＞2＋2，∴＋＞＋.即M＞N.答案M＞N5．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________．解析∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝18.∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.答案26．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最大值为________．解析＋＋＝＋＋≤＝，故最大值为.答案7．(·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc“”时＝成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.答案28．已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为________．解析∵(x2＋2y2＋3z2)≥(3x＋y·＋z·)2＝(3x＋2y＋z)2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2.当x＝－，y＝－，z＝－时，3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.答案－29．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．解析法一利用基本不等式(＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2·＋2·＋2·≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，∴＋＋≤3，∴(＋＋)max＝3.法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤18，∴＋＋≤3.当且仅当＝＝时，等号成立．∴(＋＋)max＝3.答案3二、解答题10．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明法一∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥3.又＋＋≥3＝，·1≥3·3∴＝9.即＋＋≥9.法二构造两组数：，，；，，.因此根据柯西不等式有[()2＋()2＋()2]≥.即(a＋b＋c)≥32＝9.(当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号)又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.11．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM∈，试比较ab＋1与a＋b的大小．解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，bM∈可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解∵f(x＋2)＝m－|x|，f∴(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)证明由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.
