第1讲不等式、含有绝对值的不等式基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．解析|2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.答案(－1，2)2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．解析法一原不等式即为|2x－1|＜|x－2|，4x2∴－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1.法二原不等式等价于不等式组①或②或③不等式组①无解，由②得＜x＜1，由③得－1＜x≤.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．答案{x|－1＜x＜1}3．不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．解析①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，2x≤∴－1，∴x≤－，∴－2＜x≤－.③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．综上，原不等式的解集为.答案4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为________．解析由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则⇒5∴＜b＜7.答案(5，7)5．(·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1(x∈R)的解集是________．解析由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.答案{x|0≤x≤4}6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________．解析法一根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k＜－3时，原不等式恒成立．法二令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，只要k＜－3即可．故k＜－3满足题意．答案(∞－，－3)7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝f∴(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，|a|≥3∴，即a≤－3或a≥3.答案(∞－，－3]∪[3，∞＋)8．(·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析法一设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝∴当x＝时，y取最小值3×＋1＝，|2x∴－1|＋|x＋2|≥≥a2＋a＋2，即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤.法二|2x－1|＋|x＋2|＝|x－|＋≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.答案9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．解析|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题10．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为：或或∴原不等式的解集为.法二f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝画出f(x)的图象求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.由图象知f(x)＞2的解集为.(2)由(1)的法二知：f(x)min＝－.11．(·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.(1)解f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．(2)证明由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤.因此N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤.12．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为.(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a＜1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a＞1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，a∴的取值范围是(∞－，－1]∪[3，∞＋)．
