——方法强化练平面向量(建议用时：90分钟)一、填空题1．下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝±b；②若a·b＝c·b，且b≠0，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a与b方向相同；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析①不正确；②不正确，应是(a－c)⊥b；③正确；④b＝0时不正确．答案③2．(·济南模拟)若a＝(1，－2)，b＝(x,1)，且a⊥b，则x＝________.解析由a⊥b，得a·b＝x－2＝0，∴x＝2.答案23．(·昆明期末考试)已知向量a＝(1,1)，b＝(2,0)，则向量a，b的夹角为______．解析a＝(1,1)，b＝(2,0)，∴|a|＝，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.答案4．(·德州一模)已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是________．解析由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.答案5．(·浙江五校联考)已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析由|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，得a2－4a·b＋4b2＝1，∴4a·b＝4，∴|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5＋4＝9，∴|a＋2b|＝3.答案36．(·徐州一模)已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为________．解析因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.答案27．(·长春一模)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为______．解析a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝.所以〈a，b〉＝.答案8．(·潮州二模)已知向量a＝(1，－cosθ)，b＝(1,2cosθ)且a⊥b，则cos2θ等于_______．解析a⊥b⇒a·b＝0，即1－2cos2θ＝0，∴cos2θ＝0.答案09．(·成都期末测试)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则AO＝________DO.解析由2OA＋OB＋OC＝0，得OB＋OC＝－2OA＝2AO，即OB＋OC＝2OD＝2AO，所以OD＝AO，即O为AD的中点．答案－110．(·潍坊一模)平面上有四个互异点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是________三角形．(“”“”“”填直角、等腰或等腰直角)解析由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，得[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝0，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝0.所以|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，故△ABC是等腰三角形．答案等腰11．(·兰州一模)在△ABC中，G是△ABC的重心，AB，AC的边长分别为2,1，∠BAC＝60°.则AG·BG＝________.解析由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以BC＝，∠ACB＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A(0,1)，B(－，0)，所以重心G，所以AG＝，BG＝，所以AG·BG＝·＝－.答案－12.(·大同一模)如图，AB是圆O的直径，P是圆弧上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN＝________.解析连接AP，BP.则PM＝PA＋AM，PN＝PB＋BN＝PB－AM，所以PM·PN＝(PA＋AM)·(PB－AM)＝PA·PB－PA·AM＋AM·PB－AM2＝－PA·AM＋AM·PB－AM2＝AM·AB－AM2＝1×6－1＝5.答案513．(·杭州质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，则AB·CD＝________.解析AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝2×1－2×cos30°＝－1.答案－114．(·郑州模拟)已知向量|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a－b的夹角为________．解析设a与a－b的夹角为θ.由|a|＝|a＋b|平方得：|a|2＝2|a|2＋2a·b，∴2a·b＝－|a|2，∴|a－b|2＝2|a|2－2a·b＝2|a|2＋|a|2＝3|a|2，∴|a－b|＝|a|，∴cosθ＝＝＝＝，∴θ＝.答案二、解答题15．(·漯河调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)．(1)若a∥AB，且|AB|＝|OA|，求向量OB的坐标；(2)若a∥AB，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．解(1) AB＝(cosθ－1，t)，又a∥AB，∴2t－cosθ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t.①又 |AB|＝|OA|，∴(cosθ－1)2＋t2＝5.②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，∴OB＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t＝，∴y＝cos2θ－cosθ＋＝cos2θ－cosθ＋＝＋＝2－，∴当cosθ＝时，ymin＝－.16．(·辽宁卷)设向...
