——方法强化练不等式(建议用时：75分钟)一、填空题1“．|x|＜2”“是x2－x－6＜0”的________条件．解析不等式|x|＜2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2,3)，反之则不成立．答案充分不必要2．(·青岛一模)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式①a2＞b2；②＜1；③lg(a－b)＞0；④a＜b成立的是________．解析 0＜＜1，∴y＝x是减函数，又a＞b，∴a＜b.经验证①②③均错误，∴④对．答案④3．(·郑州调研)≤不等式0的解集为________．解析原不等式等价为(x－1)(3x＋1)≤0且3x＋1≠0≤，解得－x≤1且x≠－，所以原不等式的解集为，即.答案4．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案45．(·长沙诊断)已知实数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是________．解析设z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z＝2x＋y，得z＝2x＋y＝4.答案46．(·北京海淀一模)设x，y∈R＋，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是_____．解析 x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2＝4，当x＝4y＝20时取等号，∴xy≤100，lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.答案27．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．解析设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．答案108．(·天水一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为________．解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.答案29．(·湖州模拟)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________．解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.所以＋＝·＝＋≥＋2＝.答案10．(·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)≤，因此有4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，故λ≥4，即λ的最小值是4.答案411．(·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．解析由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．答案(－2,3)12．(·武汉质检)已知f(x)＝则不等式f(x)＜9的解集是_____．解析当x≥0时，由3x＜9得0≤x＜2.当x＜0时，由x＜9得－2＜x＜0.故f(x)＜9的解集为(－2,2)．答案(－2,2)13．(·湖南卷)若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为_____．解析设z＝x＋y，则y＝－x＋z.作出可行域如图．平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．由得即A(4,2)，代入z＝x＋y，得z＝4＋2＝6.答案614．(·湘潭诊断)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析由a⊥b得：a·b＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.所以，9x＋3y≥2＝2＝6.答案615．(·上海卷)设常数a＞0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．解析当x＞0时，f(x)＝9x≥＋2＝6a≥a＋1，解得a≥.答案二、解答题16．(·镇江模拟)已知f(x)＝.(1)若f(x)>k的...
