——步骤规范练解三角形(建议用时：90分钟)一、填空题1．(·山东师大附中月考)化简＝________.解析＝＝＝－1.答案－12．(·潮州二模)在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为________．解析由题意知S△ABC＝×AB×AC×sinA＝×2×AC×＝，∴AC＝1.答案13．(·成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于______．解析 α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈.又cos2α＝cos，2α＝－α或2α＋－α＝0，∴α＝或α＝－(舍)．∴sin2α＝sin＝.答案4．(·中山模拟)已知角A为△ABC的内角，且sin2A＝－，则sinA－cosA＝________.解析 A为△ABC的内角，且sin2A＝2sinAcosA＝－＜0，∴sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0.又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝.∴sinA－cosA＝.答案5．(·临沂一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则角B的大小为________．解析由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝＝，所以B＝.答案6．(·南通、无锡调研)已知sin＝，则sin＋sin2＝________.解析因为sin＝，所以sin＋sin2＝sin＋cos2＝＋1－＝.答案7．(·安徽卷改编)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析由3sinA＝5sinB，得3a＝5b，∴a＝b，代入b＋c＝2a中，得c＝b.由余弦定理，得cosC＝＝－，∴C＝.答案8．(·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________.解析α，β都是锐角，当cosα＝时，sinα＝.因为cosα＝＜，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝＜，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角．又sin(α＋β)＝，因此cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝.答案9．(·新课标全国Ⅰ卷改编)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.解析化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据，得b＝5.答案510．(·天津卷改编)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.解析由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcosB＝()2＋32－2××3cos＝5.∴AC＝，由正弦定理＝，得sin∠BAC＝＝＝＝.答案11．(·浙江五校联盟联考)已知sin＝，且x∈，则cos2x的值为________．解析sin2x＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝－， x∈，∴2x∈.∴cos2x＝－＝－.答案－12．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，可得B＝60°.又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝＝.答案13．(·济宁期末考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，C＝π，则S△ABC＝________.解析因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sinB＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案14．(·天水模拟)f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈，则f(x)的最小值为________.解析f(x)＝2sin2－cos2x－1＝1－cos2－cos2x－1＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin≤，因为x≤≤，所以2x≤≤－，所以sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1.答案1二、解答题15．(·金华十校模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．解(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以f(B)＝sin＝1，又2B＋∈，所以2B＋＝，所以B＝.(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2.法二由正弦定理＝，得sinA＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.所以c＝1或c＝2.16．(·韶关调研)△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA－acosC＝0.(1)求角C的大小；(2)若cosA＝，c＝，求sinB和b的值．解(1)由csinA－acosC＝0，得sinCsinA－sinAcosC＝0. A为△ABC的内角，∴sinA≠0，∴si...
