——必考解答题模板成形练(三)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M、N两点．(1)求k的取值范围：(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋.请将n表示为m的函数．解(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*)，由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0得k2＞3.所以k的取值范围是(∞－，－)∪(∞，＋)．(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x，又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由＝＋得，＝＋，所以＝＋＝由(*)知x1＋x2＝，x1x2＝，所以m2＝，因为点Q在直线l上，所以k＝，代入m2＝可得5n2－3m2＝36，由m2＝及k2＞3得0＜m2＜3，即m∈(－，0)∪(0，)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝＝，综上，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，)．2．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程．解(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4＞2，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1，由消x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，所以y1＝，y2＝.S＝|OP||y1－y2|＝.由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．3．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4，联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴y1＝，y2＝由已知AC＝4AB，∴y2＝4y1，∴可得p2＋16p－36＝0∵p＞0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴抛物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，由Δ＞0得k＜－4或k＞0，x＝2k±2.∴xB＋xC＝2k∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b＞2.4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x－y＋＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF2F1＝∠MF2A.求证直线l过定点(2,0)，并求出斜率k的取值范围．解(1)由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.又∵b＝＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.由Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＞0，得m2＜2k2＋1，∵x1＝，x2则有x1＋x2＝，x1x2＝.∵∠NF2F1＝∠MF2A，且∠MF2A≠90°，kMF2＋kNF2＝0.又F2(1,0)，则＋＝0，即＋＝0，化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0.将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得m＝－2k，∴直线l的方程为y＝kx－2k，即直线过定点(2,0)．将m＝－2k代入m2＜2k2＋1，得4k2＜2k2＋1，即k2＜，又∵k≠0，∴直线l的斜率k的取值范围是∪.
