必考解答题——模板成形练(五)数列(建议用时：60分钟)1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝1－an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝logan，数列{bn}的前n项和为Tn，求证＜2.解(1)当n＝1时，2S1＝1－a1,2a1＝1－a1，∴a1＝；当n≥2时，两式相减得2an＝an－1－an(n≥2)，即3an＝an－1(n≥2)，又an－1≠0，∴＝(n≥2)，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．∴an＝·n－1＝n.(2)由(1)知bn＝logn＝n，∴Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＋＋…＋＝2＝2＜2.2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)．(1)求Sn；(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．解(1)因为Sn＝Sn－1＋2n，所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N*成立，即an＝2n对n≥2成立，又a1＝2·1.所以an＝2n对n∈N*成立．所以an＋1－an＝2对n∈N*成立，所以{an}是等差数列，所以有Sn＝·n＝n2＋n，n∈N*.(2)存在．由(1)，得an＝2n，n∈N*成立，所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，则＝＝3.所以存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{bn}，其通项公式为bn＝2·3n－1.3．已知数列{an}是首项a1＝1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1＝2的等比数列，且b2S2＝16，b1b3＝b4.(1)求an和bn；(2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1,2,3，…)，求数列{cn}的前2n＋1项和T2n＋1.解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝2qn－1.由b1b3＝b4，得q＝＝b1＝2，由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2.∴an＝2n－1，bn＝2n.(2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2·b2)＋…＋a2n－1＋(a2n＋nbn)＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋…＋nbn)．令A＝b1＋2b2＋…＋nbn，则A＝2＋2·22＋…＋n·2n，∴2A＝22＋2·23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，∴－A＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，∴A＝n·2n＋1－2n＋1＋2.又S2n＝＝4n2，∴T2n＋1＝1＋4n2＋n·2n＋1－2n＋1＋2＝3＋4n2＋(n－1)2n＋1.4．已知数列{an}满足：an≠±1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝1－a，cn＝a－a(n∈N*)．(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}、{cn}的通项公式．(2)是否存在数列{cn}的不同项ci，cj，ck(i＜j＜k)使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项ci，cj，ck(i＜j＜k)；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有(n－2)cn＜M恒成立？若存在，求出M的值，若不存在，说明理由．(1)证明因为an≠±1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝1－a，所以＝＝(n∈N*)，b1＝1－a＝，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，所以bn＝×n－1(n∈N*)，所以a＝1－bn＝1－×n－1(n∈N*)所以cn＝a－a＝×n－1(n∈N*)(2)解假设存在cj，cj，ck(i＜j＜k)满足题意，则有2cj＝ci＋ck代入得2××j－1＝×i－1＋×k－1化简得2j－i＋1＝3j－1＋2k＋j－i，即2j－i＋1－2k＋j－i＝3j－1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在．(3)∵(n－2)cn－(n－1)cn＋1＝×n－1×，∴(1－2)c1＜(2－2)c2＜(3－2)c3＜(4－2)c4，(4－2)c4＝(5－2)c5，(5－2)c5＞(6－2)c6＞(7－2)c7＞……即在数列{(n－2)cn}中，第4项和第5项是最大项，当n＝4时(n－2)cn＝2××3＝，所以存在最小自然数M＝1符合题意．
