必考解答题——模板成形练(四)实际应用题(建议用时：60分钟)1．在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解(1)设箱底边长为x，则箱高为h＝×(0＜x＜a)，箱子的容积为V(x)＝x2×sin60°×h＝ax2－x3(0＜x＜a)．由V′(x)＝ax－x2＝0解得x1＝0(舍)，x2＝a，且当x∈时，V′(x)＞0；当x∈时，V′(x)＜0，所以函数V(x)在x＝a处取得极大值．这个极大值就是函数V(x)的最大值：V＝a×2－×3＝a3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳地，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l(宽度不计)，切点为M，并把该地块分为两部分，现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y＝－x2＋2(0≤x≤)的图象，且点M到边OA距离为t.(1)当t＝时，求直路l所在的直线方程；(2)当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解(1)M，l：12x＋9y－22＝0(2)M(t，－t2＋2)，过切点M的切线l：y－(－t2＋2)＝－2t(x－t)即y＝－2tx＋t2＋2，令y＝2得x＝，故切线l与AB交于点；令y＝0，得x＝＋，又x＝＋在递减，所以x＝＋∈故切线l与OC交于点.∴地块OABC在切线l右上部分区域为直角梯形，面积S＝·2＝4－t－＝4－≤2，t＝1时取到等号，Smax＝2.3．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．解(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k＞0.从而点C处污染指数y＝＋(0＜x＜36)．(2)因为a＝1，所以，y＝＋，y′＝k，令y′＝0，得x＝，当x∈时，函数单调递减；当x∈时，函数单调递增；∴当x＝时，函数取得最小值．又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为25.4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．解(1)Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100米．∴cosB＝＝，可得B＝60°∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B＝60°设＝λ(0＜λ＜1)，则CE＝λCB＝100λ米，Rt△CEF中，EF＝2CE＝200λ米，C到FE的距离d＝CE＝50λ米，∵C到AB的距离为BC＝50米，∴点D到EF的距离为h＝50－50λ＝50(1－λ)米可得S△DEF＝EF·h＝5000λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤[λ＋(1－λ)]2＝，当且仅当λ＝时等号成立，∴当λ＝时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为1250米2(2)设正△DEF的边长为a，∠CEF＝α，则CF＝a·sinα，AF＝－a·sinα.设∠EDB＝∠1，可得∠1＝180°－∠B－∠DEB＝120°－∠DEB，α＝180°－60°－∠DEB＝120°－∠DEB∴∠ADF＝180°－60°－∠1＝120°－α在△ADF中，＝即＝，化简得a[2sin(120°－α)＋sinα]＝∴a＝＝≥＝(其中φ是满足tanφ＝的锐角)．∴△DEF边长最小值为米．
