必考解答题——模板成形练(一)三角函数、平面向量及解三角形(建议用时：60分钟)1．在△ABC中，cosA＝，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．(1)求sin2A；(2)若sin＝－，c＝2，求△ABC的面积．解(1)因为cosA＝，A∈(0，π)，∴sinA＝.∴sin2A＝2sinAcosA＝.(2)由sin＝－，得cosB＝，由于B∈(0，π)，∴sinB＝.则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.由正弦定理，得a＝＝2，∴△ABC的面积为S＝acsinB＝.2．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，m＝，n＝七，m与n的夹角为.(1)求角C的大小；(2)已知c＝，△ABC的面积S＝，求a＋b的值．解(1)由条件得m·n＝cos2－sin2＝cosC，又m·n＝|m||n|cos＝，∴cosC＝，0＜C＜π，因此C＝.(2)S△ABC＝absinC＝ab＝，∴ab＝6.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，得出(a＋b)2＝，∴a＋b＝.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2C＝1－.(1)求＋的值；(2)若tanB＝，求tanA及tanC的值．解(1)∵cos2C＝1－，∴sin2C＝.∵C为三角形内角，∴sinC＞0，∴sinC＝.∵＝，∴＝∴2sinB＝sinAsinC.∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC.∴2sinAcosC＋2cosAsinC＝sinAsinC.∵sinA·sinC≠0，∴＋＝.(2)∵＋＝，∴tanA＝.∵A＋B＋C＝π，∴tanB＝－tan(A＋C)＝－＝.∴＝整理得tan2C－8tanC＋16＝0解得，tanC＝4，tanA＝4.4．已知向量m＝(sinx－cosx,1)，n＝，若f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c＝3，f＝(C为锐角)，2sinA＝sinB，求C，a，b的值．解(1)f(x)＝m·n＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－＋＝sin2x－cos2x＝sin，∴f(x)的最小正周期为π.(2)f＝sinC＝，∵0＜C＜，∴C＝，∵2sinA＝sinB，由正弦定理得b＝2a.①∵c＝3，由余弦定理，得9＝a2＋b2－2abcos，②解①②组成的方程组，得∴C＝，a＝，b＝2.
