——必考解答题模板成形练(六)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．解(1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b，所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x.当a＝0时，f′(x)≤0，函数f(x)没有单调递增区间；当a＞0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜.故f(x)的单调递增区间为；当a＜0时，令f′(x)＞0，得＜x＜0.故f(x)的单调递增区间为.综上所述，当a＝0时，函数f(x)没有单调递增区间；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知，a∈[3,4]时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(∞－，0)和，所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝b，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝＋b，由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，所以即解得－＜b＜0，因为对任意a∈[3,4]，b＞－恒成立，所以b＞max＝－＝－4，所以实数b的取值范围是(－4,0)．2．已知函数f(x)＝＋lnx－1，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，y0)处的切线平行于直线y＝－x＋1，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a＞0，且对x∈(0,2e]时，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．解(1)直线y＝－x＋1的斜率k＝－1，函数y＝f(x)的导数为f′(x)＝－＋，f′(1)＝－a＋1＝－1，即a＝2.∴f(x)＝＋lnx－1，f′(x)＝－＋＝.∵f(x)的定义域为(0∞，＋)．由f′(x)＞0，得x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2.∴函数f(x)的单调增区间是(2∞，＋)，单调减区间是(0,2)．(2)∵a＞0，f(x)＞0对x∈(0,2e]恒成立，即＋lnx－1＞0对x∈(0,2e]恒成立．即a＞x(1－lnx)对x∈(0,2e]恒成立，设g(x)＝x(1－lnx)＝x－xlnx，x∈(0,2e]．g′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当1＜x≤2e时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)在x∈(0,2e]上取到最大值．∴g(x)≤g(1)＝1－ln1＝1，∴a的取值范围是(1∞，＋)．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx－3，y＝f′(x)为f(x)的导函数，满足f′(2－x)＝f′(x)；f′(x)＝0有解，但解却不是函数f(x)的极值点．(1)求f(x)；(2)设g(x)＝x，m＞0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值；(3)设h(x)＝lnf′(x)，若对于一切x∈[0,1]，不等式h(x＋1－t)＜h(2x＋2)恒成立，求实数t的取值范围．解(1)f′(x)＝x2＋2bx＋c，∵f′(2－x)＝f′(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，b＝－1.由题意，f′(x)＝x2－2x＋c＝0中Δ＝4－4c＝0，故c＝1.所以f(x)＝x3－x2＋x－3.(2)∵f′(x)＝x2－2bx＋1＝(x－1)2，∴g(x)＝x|x－1|＝当0＜m≤时，g(x)max＝g(m)＝m－m2当＜m≤时，g(x)max＝g＝，当m＞时，g(x)max＝g(m)＝m2－m，综上g(x)max＝(3)h(x)＝2ln|x－1|，h(x＋1－t)＝2ln|x－t|，h(2x＋2)＝2ln|2x＋1|当x∈[0,1]时，|2x＋1|＝2x＋1，所以不等式等价于0＜|x－t|＜2x＋1恒成立，解得－x－1＜t＜3x＋1，且x≠t，由x∈[0,1]，得－x－1∈[－2，－1]，3x＋1∈[1,4]，所以－1＜t＜1，又x≠t，∴t∈[0,1]，∴所求的实数t的取值范围是(－1,0)．4．已知函数f(x)＝k[(logax)2＋(logxa)2]－(logax)3－(logxa)3，g(x)＝(3－k2)(logax＋logxa)，(其中a＞1)，设t＝logax＋logxa.(1)当x∈(1，a)∪(a∞，＋)时，试将f(x)表示成t的函数h(t)，并探究函数h(t)是否有极值；(2)当∈(1∞，＋)时，若存在x0∈(1∞，＋)，使f(x0)＞g(x0)成立，试求k的范围．解(1)∵(logax)2＋(logxa)2＝(logax＋logxa)2－2＝t2－2，(logax)3＋(logxa)3＝(logax＋logxa)[(logax＋logxa)2－3]＝t3－3t，∴h(t)＝－t3＋kt2＋3t－2k，(t＞2)．∴h′(t)＝－3t2＋2kt＋3设t1，t2是h′(t)＝0的两根，则t1t2＜0，∴h′(t)＝0在定义域内至多有一解，欲使h(t)在定义域内有极值，只需h′(t)＝－3t2＋2kt＋3＝0在(2∞，＋)内有解，且h′(t)的值在根的左右两侧异号，∴h′(2)＞0得k＞.综上：当k＞时h(t)在定义域内有且仅有一个极植，当k≤时h(t)在定义域内无极值．(2)∵存在x0∈(1∞，＋)，使f(x0)＞g(x0)成立等价于f(x)－g(x)的最大值大于0.∵t＝logax＋logxa，∴m(t)＝－t3＋kt2＋k2t－2k，(t≥2)，∴m′(t)＝－3t2＋2kt＋k2＝0得t1＝k，t2＝－.当k＞2时，m(t)max＝m(k)＞0得k＞2；当0＜k≤2时，m(t)max＝m(2)＞0得＜k≤2；当k＝0时，m(t)max＝m(2)＜0不成立．当－6≤k＜0时，m(t)max＝m(2)＞0得－6≤k＜；当k＜－6时，m(t)max＝m＞0得k＜－6.综上得：k的取值范围是∪.
