——必考附加题模板成形练(二)1．如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2)求二面角O－DF－E的余弦值．解(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0，1,2)．设F(x0，y0,0)(x0>0，y0>0)，且x＋y＝4，则EF＝(x0，y0－1，－2)，DE＝(0,1,0)，∵EF⊥DE，即EF⊥DE，则EF·DE＝y0－1＝0，故y0＝1.∴F(，1,0)，EF＝(，0，－2)，BD＝(0，－2,2)．设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝＝＝.(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．设平面DEF法向量为n2＝(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝.设二面角O－DF－E的平面角为β，则|cosβ|＝＝＝，∴sinβ＝.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－(n＋1)．(1)证明：an>n(n≥3)；(2)证明：<2.证明(1)因为a1＝2，a2＝2，所以a3＝a－3＝5>3.假设当n＝k时，ak>k(k≥3)，则a>kk＋1>k2·k≥9k>2k＋2，那么，当n＝k＋1时，有ak＋1＝a－(k＋1)>2k＋2－(k＋1)＝k＋1.这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．所以当n≥3时，an>n.(2)当n＝2时，<2显然成立，由(1)知，当n≥3时，an＝a－n>0，得a>n，所以an－1>，所以a－(n－1)>，即a>(n－1)＋，所以an－2>，以此类推，得2＝a1>，问题得证．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DC的中点．(1)求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；(2)设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．解(1)建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系．D1(0,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,0)，C1(0,2,2)，F(0,1,0)，BC1＝(－2,0,2)，D1E＝(1,0，－2)，EF＝(－1,1,0)．设平面D1EF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则⇒令x1＝2，则n＝(2,2,1)，cos〈n，BC1〉＝＝－，∴直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值为.(2)BP＝λBC1＝(－2λ，0,2λ)，AP＝AB＋BP＝(－2λ，2,2λ)，n·AP＝－4λ＋4＋2λ＝0，∴λ＝2.∵AP不在平面EFD1内，AP∥平面EFD1，又AC∥EF，EF⊆平面EFD1，∴AC∥平面EFD1.又AP与AC相交于点A，∴平面PAC∥平面EFD1，BP＝(－4,0,4)，|BP|＝4.4．已知数集A＝{a1，a2…，，an}，其中0≤a1
a8，故a8＋a8∉A，∴0＝a8－a8∈A，故a1＝0.∵0＝a1a8，故a8＋ak∉A(k＝2,3…，，8)．由A具有性质P知，a8－ak∈A(k＝2,3…，，8)，又∵a8－a8
