——必考附加题模板成形练(一)1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝6，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1.(1)求异面直线AE与A1F所成角的大小；(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．解(1)建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,6)，F(0,2,4)，从而AE＝(2,0,2)，A1F＝(0,2，－2)．记AE与A1F的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝－.又由异面直线AE与A1F所成角的范围为(0，π)，可得异面直线AE与A1F所成的角为60°.(2)记平面AEF和平面ABC的法向量分别为n和m，则由题设可令n＝(1，y，z)，且有平面ABC的法向量为m＝AA1＝(0,0,6)，AF＝(0,2,4)，AE＝(2,0,2)．由n·AF＝0，得2y＋4z＝0；由n·AE＝0，得2＋2z＝0.所以z＝－1，y＝2，即n＝(1,2，－1)．记平面AEF与平面ABC所成的角为β，有cosβ＝＝＝－.由图形可知β为锐角，所以cosβ＝.2．已知数列{bn}满足b1＝，＋bn－1＝2(n≥2，n∈N*)．(1)求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设x＝b，y＝b，比较xx与yy的大小．解(1)当n＝2时，＋＝2，解得b2＝；当n＝3时，＋＝2，解得b3＝.猜想bn＝.证明：①当n＝1时，b1＝.②假设当n＝k(k∈N*)时，即bk＝，则当n＝k＋1时，＋bk＝2，即＋＝2，∴＝2－＝，bk＋1＝也成立．由①②得bn＝.(2)x＝b＝n，∴xx＝yy.3．三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1－A1D－C1的大小的正弦值．解(1)由题意，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3).A1D＝(1,2，－3)，A1C1＝(0,4,0)．设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)．∵n·A1D＝x＋2y－3z＝0，n·A1C1＝4y＝0.∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3,0,1)．设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，∵DB1＝(1，－2,3)，∴sinθ＝|cos〈DB1，n〉|＝＝.(2)设平面A1B1D的法向量为m＝(a，b，c)．A1B1＝(2,0,0)，∵m·A1D＝a＋2b－3c＝0，m·A1B1＝2a＝0.∴a＝0,2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0,3,2)．设二面角B1－A1D－C1的大小为α，∴|cosα|＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，则sinα＝＝，∴二面角B1－A1D－C1的大小的正弦值为.4．已知整数n≥4，集合M＝{1,2,3…，，n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC(C∈N*)．(1)当n＝5时，求集合A1，A2…，，AC中所有元素之和；(2)设mi为Ai中的最小元素，设Pn＝m1＋m2…＋＋mC，试求Pn(用n表示)．解(1)当n＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C＝15×6＝90.(2)证明不难得到1≤mi≤n－2，mi∈Z，并且以1为最小元素的子集有C个，以2为最小元素的子集有C个，以3为最小元素的子集有C…个，，以n－2为最小元素的子集有C个，则Pn＝m1＋m2…＋＋mC＝1×C＋2C＋3C…＋＋(n－2)C＝(n－2)C＋(n－3)C＋(n－4)C…＋＋C＝C＋(n－3)(C＋C)＋(n－4)C…＋＋C＝C＋(n－3)(C＋C)＋(n－4)C…＋＋C＝C＋(n－3)C＋(n－4)C…＋＋C＝C＋C＋(n－4)(C＋C)…＋＋C＝C＋C＋(n－4)C…＋＋C＝C＋C＋C…＋＋C＝C.
