第6讲不等式的证明1．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1≥，求证：＋＋9.证明法一构造两组数：，，；，，.因此根据柯西不等式有[()2＋()2＋()2]≥2.即(a＋b＋c)≥32＝9.(当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号)．又a＋b＋c＝1≥，所以＋＋9.法二∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥3.≥又＋＋3＝，∴·1≥3·3＝9.≥即＋＋9.2．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．解∵(x2＋2y2＋3z2)≥2＝(3x＋2y＋z)2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2.当x＝－，y＝－，z＝－时，3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.3．(·常州一中期中)设正实数a、b满足a2＋ab－1＋b－2＝3，求证：a＋b－1≤2.证明由a2＋ab－1＋b－2＝3，得ab－1＝(a＋b－1)2－3，又正实数a、b满足a＋b－1≥2，即ab－1≤，当且仅当a＝b“”时取＝．∴(a＋b－1)2－3≤，∴a＋b－1≤2.4．已知an…＝＋＋＋＋(n∈N*)，求证：
n，∴an…＝＋＋＋>1＋2＋3…＋＋n＝.∵<，∴an<…＋＋＋＋＝＋(2＋3…＋＋n)＋＝.综上得：0，b>0.(1)≥求证：9；(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．(1)证明因为a>0，b>0，所以a＋b≥＋3＝3>0，①同理可证：a2≥＋＋3>0.②由①②及不等式的性质得＝3×3＝9.(2)解[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.12．(·福建毕业班质检)已知a，b为正实数．(1)≥求证：＋a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(00，b>0，∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴≥＋a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．法二∵＋－(a＋b)＝＝＝＝.又∵a>0，b>0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴≥＋a＋b.(2)解∵00，由(1)的结论，函数y≥＝＋(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0
