第3讲坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，求点到直线l的距离．解∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)∴点到直线l的距离为2.2．(·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，求点A到圆心C的距离．解将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.3．求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程．解如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则OP＝ρ，∠POA＝θ－，OA＝2×3＝6，在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA，∴ρ＝6cos.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos.4．(·常州一中期中)在极坐标系中，已知点O(0,0)，P，求以OP为直径的圆的极坐标方程．解设点Q(ρ，θ)为以OP为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt△OQP中，ρ＝3cos，故所求圆的极坐标方程为ρ＝3cos.5．(·扬州市调研)已知A是曲线ρ＝12sinθ上的动点，B是曲线ρ＝12cos上的动点，试求线段AB长的最大值．解曲线ρ＝12sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－6)2＝36，其圆心为(0,6)，半径为6；曲线ρ＝12cos的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝36，其圆心为(3，3)，半径为6.所以AB长的最大值＝＋6＋6＝18.6．从极点O作直线与另一直线ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．解设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)．∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝.又M在直线ρcosθ＝4上，∴cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ.这就是点P的轨迹方程．7．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示原心在点，半径为的圆．8．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解(1)ρ＝4cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．9．(·泉州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.10．已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ＝，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．解由ρ＝，得ρcos2θ＝4sinθ，ρ2cos2θ＝4ρsinθ.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，故所求曲线的直角坐标方程是x2＝4y，故焦点到准线的距离为2.11．(·宿迁联考)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2·sin.(1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．解(1)消去参数，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝2sin，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)．得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l和⊙C相交．12．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρsin＝3.(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，求P到直线l的距离的最大值．解(1)直线l的极坐标方程ρsin＝3，则ρsinθ－ρcosθ＝3，即ρsinθ－ρcosθ＝6，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋6＝0.(2)P为椭圆C：＋＝1上一点，设P(4cosα，3sinα)，其中α∈[0,2π)，则P到直线l的距离d＝＝，其中cosφ＝，所以当cos(α＋φ)＝1时，d的最大值为.
