第2讲矩阵与变换1．(·江苏卷)求矩阵A＝的逆矩阵．解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝.故解得从而A的逆矩阵为A－1＝.2．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．解设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有＝，即∴又 点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1.∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.3．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝.(1)求实数a、b、c、d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解(1)由题设得：解得(2) 矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)，由＝，＝，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.4．(·苏北四市调研一)若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．解由题意，知M＝，即＝，∴解得∴M＝.由M－1M＝，解得M－1＝.5．(·南通调研)已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.6．(·扬州调研)已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为，当λ1＝2时，由M＝2，可得可令x＝1，得y＝1，∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M＝4，可得取x＝1，得y＝－1，∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．7．(·南京模拟)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y)由＝，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以×＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.8．已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1.解AB＝＝.设(AB)－1＝，则由(AB)·(AB)－1＝，得＝，即＝，所以解得故(AB)－1＝.9．(·福建卷)设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．解(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.又M＝.∴＝.∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，∴10．(·南通调研)已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解(1)由＝，所以2－2a＝－4.所以a＝3.(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⇒x＋y＝0.所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.当λ＝4时，⇒2x－3y＝0.所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.11．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．解(1)设M＝，则＝8＝，故因＝，故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则＝，即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.12...
