第1讲几何证明选讲1.(·常州市期末考试)如图，圆O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH＝DE.证明连结CE，CH.因为H为△ABC的垂心，所以∠ECD＝∠BAD＝90°－∠ABC，∠HCD＝90°－∠ABC，所以∠ECD＝∠HCD.又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC，所以DH＝DE.2.(·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明 PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆．3.(·镇江调研)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.4.(·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE. 圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是＝＝＝，∴AB∶AC为定值．5.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明 E是Rt△ACD斜边AC的中点，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又 ∠1＝∠2，∴∠1＝∠A. ∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又 ∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴＝，∴FD2＝FB·FC.6.(·苏州市调研(一))如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N.若AC＝AB，求证：BN＝2AM.证明连结MN.因为CM是∠ACB的平分线，所以∠ACM＝∠NCM，所以AM＝MN.因为∠B＝∠B，∠BMN＝∠A，所以△BMN∽△BCA，所以＝＝2，即BN＝2MN＝2AM.7.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明 AD∥BC，∴.∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴＝.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝＝＝4， AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝＝.又 PB－PD＝9，∴PD＝，PB＝.∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝.8.如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．(1)证明连接AB，如图所示 AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.又 ∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.(2)解设BP＝x，PE＝y， PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.① 根据(1)，可得△ADP∽△CEP，∴＝，即＝，②由①②，可得或(负值舍去)，∴DE＝9＋x＋y＝16. AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12.9.(·泰州调研一)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．(1)证明 AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC. 四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC. ∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解 AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°. ∠EAC＝120°，∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中， BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.10.(·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，...
