第3讲二项式定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·西安调研)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析(1＋)4＝1＋C·＋C·()2＋C()3＋()4＝28＋16，由题设a＝28，b＝16，故a＋b＝44.答案442．(·辽宁卷改编)使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．解析Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．答案53．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案1或384．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2…＋＋a11x10.若数列a1，a2，a3…，，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．解析由二项式定理知an＝C(n＝1,2,3…，，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a6＝C，则k的最大值为6.答案65．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a6x6，且a1＋a2…＋＋a6＝63，则实数m的值为________．解析令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1，令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2…＋＋a6，又a1＋a2＋a3…＋＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.答案1或－36．(·四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析Tr＋1＝Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，依题意，r＝3，∴含x2y3的系数为C＝＝10.答案107．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝______.解析(a＋x)4的展开式中的通项Tr＋1＝Ca4－rxr，当r＝3时，有C·a＝8，所以a＝2.答案28．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为________．解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案150x二、解答题9．已知二项式(＋)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解(1)由题意得C＋C＋C…＋＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.10．若(2＋x＋x2)3的展开式中的常数项为a，求(3x2－1)dx.解∵3＝1－＋－，∴(2＋x＋x2)3的展开式中的常数项为a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.因此(3x2－1)dx＝(x3－x)＝(x3－x)＝6.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·陕西卷)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为________．解析当x>0时，f(x)＝－<0，所以f[f(x)]＝f(－)＝6，由r－3＝0，得r＝3.所以f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(－1)3C＝－20.答案－202．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2…＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2…，，a5为实数，则a3＝________.解析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)r·(－1)5－r，T4＝C·(－1)2(1＋x)3＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案103．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a12x12，则a2＋a4…＋＋a12＝________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2…＋＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2…－＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4…＋＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4…＋＋a12＝－1＝364.答案364二、解答题4．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值．解5展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－r，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.∴(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)2＝54，解得a＝.
