第5讲曲线与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是________．解析由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得∴或即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．答案两个点(1,1)和(－1，－1)2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是________．解析 PM·PN＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案圆3．(·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为________．解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即 点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案y＝2x4．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析直线x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，由抛物线定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案(1,0)5．(·广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．解析由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．答案椭圆6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程是________________．解析AB＝－(－2，y)＝，BC＝(x，y)－＝， AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴·＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.答案y2＝8x7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，∴圆的面积S＝π×22＝4π.答案4π8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是_______________________________________________．解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案－＝1(x>3)二、解答题9．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0＝PP0.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若直线l：y＝x＋1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．解(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．由MP0＝(x0－x，－y)，PP0＝(0，－y0)，且MP0＝PP0，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．于是x0＝x且y0＝y，又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得7x2＋8x－8＝0，∴x1＋x2＝－，且x1x2＝－.则|AB|＝＝|x2－x1|＝·＝·＝.10．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点作直线l，与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．解(1)设P点的坐标为(x，y)，依题意得·＝－(x≠±2)，化简并整理得＋＝1(x≠±2)．∴动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2)．(2)依题意得，直线l过点，且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋.由，消去x得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，∴y1＋y2＝－，∴y0＝＝－，∴x0＝my0＋＝，∴k＝＝，①当m＝0时，k＝0，②当m≠0时，k＝，又|4m＋|＝4|m|≥＋8，∴0<|k|≤，∴≤－k≤，且k≠0，综合①②，直线AM的斜率k的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为____________．解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案＋＝12．有一动圆P恒过定点F(1,0)，且与y轴相交于点A，B，若△ABP为等边三角形，则圆心P的轨迹方程是____________．解设圆心P(x，y)，半径为R，由圆的几何性质，|x|＝R，又R＝|PF|＝，所以2|x|＝·，即(x＋3)2－3y2＝1...
