第4讲圆锥曲线的热点问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案＋＝12．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．解析由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或1.答案1或03．(·济南模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x≤应在两渐近线之间，所以有，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2.答案5－28．(·青岛调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案3二、解答题9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，① 直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0， a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．x＝∴x1＋x2＝，x1x2＝.②由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝1－x1，y2＝1－x2，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④∴＋＝2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由e＝⇒b2＝a2－a2e2，代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.∴a2＝＝＋. ≤e≤，∴≤a2≤. a＞0，∴≤a≤.∴长轴长的取值范围是[，]．10．(·佛山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：MA·MB为定值．解(1)化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.可求得A，B.此时，MA·MB＝·＝...
