第3讲抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案y＝x2或y＝－x22．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案x2＝12y3．(·济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为________．解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.答案24．(·四川卷改编)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是________．解析由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.答案15．(·潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为________．解析抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.答案36．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案37．(·新课标全国Ⅱ卷改编)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为________．解析法一由|AF|＝3|BF|，得AF＝3FB，而F点坐标为(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)，因为点A，B都在抛物线上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±.则过点F的直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．法二结合焦点弦公式|AB|＝及＋＝求解，设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，＝3，又＋＝，∴＋＝1，∴|BF|＝，|AF|＝4，∴|AB|＝.又由抛物线焦点弦公式：|AB|＝，∴＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，∴k＝tanθ＝±.答案y＝(x－1)或y＝－(x－1)8．(·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．答案2二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．解法一根据已知条件，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F. 点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，故解得或∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.法二设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.∴所求抛物线方程为y2＝－8x，又 点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，∴m＝±2.10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：OA·OB是一个定值．(1)解 由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0，∴y＝4k＋2∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)． OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴OA·OB是一个定值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．解析 －＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的...
