第十篇圆锥曲线与方程第1讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.答案42．(·广州模拟)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，解得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.答案－或213．(·镇江模拟)已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于________．解析将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2＞10－m，即m＞6，且()2－()2＝22，解得m＝8.答案84．(·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．解析设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.答案＋＝15．(·辽宁卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．解析如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.答案6．(·无锡模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．解析抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.答案＋＝17．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案38．(·福建卷)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析因为直线y＝(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝c由点M在椭圆上知，c＋c＝2a.故离心率e＝＝＝－1.答案－1二、解答题9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．解(1)依题意得|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴所求椭圆的方程为＋＝1.(2)设P点坐标为(x，y)， ∠F2F1P＝120°，∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，即y＝－(x＋1)．解方程组并注意到x＜0，y＞0，可得∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.10．(·绍兴模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点M在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求OA·OB的取值范围．解(1) 2a＝4，∴a＝2，又M在椭圆上，∴＋＝1，解得b2＝2，∴所求椭圆方程＋＝1.(2)由题意知kMO＝，∴kAB＝－.设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立方程组消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0，∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由求根公式得x＝则x1＋x2＝，x1x2＝，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝∈.∴OA·OB的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·潍坊模拟)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．解析由题意知a＝2，所...
