第5讲与圆有关的综合问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案4－12．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．解析法一点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(－1)2＝14－2.法二设圆的参数方程为则x2＋y2＝14＋4cosα＋6sinα，所以x2＋y2的最小值为14－＝14－2.答案14－23．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值是________．解析如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，设则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足PE·PF最小，此时|PC|＝4，|EC|＝2，故|PE|＝|PF|＝2，∠EPF＝60°，则PE·PF＝(2)2×cos60°＝6.答案64．(·南京29中模拟)过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x＝0，y＝0，得A、B，所以AB≥＝＝2.答案25．(·南通模拟)若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则a的最小值为________．解析由题意，得解得a≥－2.答案－26．(·南京一中月考)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．解析设O到l的距离为d则|AB|＝直线p∶y＝k(x－)，S△AOB＝×d×2＝d≤＝，当且仅当d2＝1－d2即d2＝时取到最大值， d＝∴＝∴k2＝又A、B两点在一、二象限，∴k＜0，∴k＝－答案－7．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离等于，由点到直线的距离公式，得＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－且b∈[－，]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝＝，因此当b＝－时，d取最大值，此时dmax＝＝＋1.答案＋18．(·北京师大附中检测)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝PB易知四边形PACB的面积＝(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由于PA＝，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝＝3，PA＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值是2.答案2二、解答题9．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．(1)证明 圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解 OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN. kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程是y＝.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＜，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞，圆C与直线y＝－2x＋4相离，∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.10．(·宿迁联考)已知⊙C过点P(1,1)，且与⊙M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求⊙C的方程；(2)设Q为⊙C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C(a，b)，则有解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入，得r2＝2.故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)...
