第3讲圆的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝22．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．解析圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．答案四3．(·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2， 点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.答案x2＋y2－10y＝04．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析联立解得P(a,3a)，∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1.答案5．(·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝16．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)， kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝07．(·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.答案8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1∞＋，＋)．答案[－1∞＋，＋)二、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解(1)法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝＝2，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝.从而N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为________．解析圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.答案62．(·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为________．解析抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即抛物线方程为y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝1.答案(x－1)2＋(y－4)2＝13．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部...
