第7讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．解析y轴的方向向量为m＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|， cos〈m，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝，∴θ＝.答案2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，∴DN＝，MA1＝，∴DN·MA1＝1×0＋1×＋×1＝0，∴DN⊥MA1，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.答案90°3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1,2,2)， 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，故锐二面角的余弦值为.答案4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为________．解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案a5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.答案6.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．解析法一建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.法二将其补成正方体．如图2，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.答案45°7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为________．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(，1,0)，A(0,0，2)，AC1＝(，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为＝＝.答案8．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是________．解析 点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.答案二、解答题9．(·江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．因为cos〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0.取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.10.(·广州质检)如图所示，在四棱...
