第6讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·徐州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为________．解析由条件知AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，设a＝(x，y，z)则有解可得a＝±(1,1,1)．答案(1,1,1)或(－1，－1，－1)2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案平行或在平面内3．设a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)“，则c”“＝是c⊥a，c⊥b且c”为单位向量的________条件．解析当c＝时，c⊥a，c⊥b且c为单位向量，反之则不成立．答案充分不必要4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为________(“”“”“”填平行、垂直、异面)．解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.答案垂直5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为________．解析连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.答案6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.解析 α⊥β，∴a·b＝x－2＋6＝0，则x＝－4.答案－47．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，∴n·AB＝0，n·AC＝0，∴n⊥AB，n⊥AC，故n也是α的一个法向量．又 α与β不重合，∴α∥β.答案平行8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．答案①②③二、解答题9.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明 平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2.∴PB＝2FE＋2FG，又 FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面． PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°. PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2，3,0)，CM＝，(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即∴令y＝2，得n＝(－，2,1)． n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥CM，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，并连接BE，则E(，2,1)，BE＝(－，2,1)， PB＝AB，∴BE⊥PA.又...
