第4讲基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式①a＋b≥2；②＋＞；③≥＋2；④a2＋b2＞2ab中，恒成立的是________．解析因为ab＞0，即＞0，＞0≥，所以＋2＝2.答案③2．(·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是______．解析由题意＋＝＋＝2≥＋＋2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.答案43．(·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.答案44．(·陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.答案a0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·≥＝＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·郑州模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为______．解析因为1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又因为a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在单调递减，所以f(t)min＝f＝.此时a＝2b＝.答案2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4
