第3讲等比数列及其前n项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝＝15.答案152．(·广州模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3＝，则S6等于________．解析S3＝＝7a1＝，所以a1＝.所以S6＝＝63a1＝.答案3．(·温州三模)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.解析由a3·a9＝a5·a7＝2a，得a7＝2a5，又a2＝1，∴a2q5＝2a2q3，∴q2＝2，∴q＝，∴a1＝＝＝.答案4．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________．解析根据已知条件得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.答案1或－5．(·广东卷)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.解析因为an＝a1qn－1＝(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.答案156．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案2407．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．解析由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.答案－28．(·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为________．解析设方程x2－5x＋m＝0的两根为x1，x2，方程x2－10x＋n＝0的两根为x3，x4.则由题意知x1＝1，x2＝4，x3＝2，x4＝8，∴m＝4，n＝16，∴m∶n＝.答案二、解答题9．(·四川卷)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．解设该数列的公比为q.由已知，可得a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，所以a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.所以，数列的前n项和Sn＝.10．(·济南期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，a3＋a4＝17.(1)求{an}的通项公式；(2)设，证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.(1)解设等差数列{an}的公差为d.由题意知解得a1＝1，d＝3，∴an＝3n－2(n∈N*)．(2)证明由题意知，，bn－1＝23(n－1)＝23n－3(n∈N*，n≥2)，∴＝＝23＝8(n∈N*，n≥2)，又b1＝8，∴{bn}是以b1＝8，公比为8的等比数列，Tn＝＝(8n－1)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·南通模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是________．解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.答案－52．(·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是________．解析由题意知a4·a14＝(2)2＝a，即a9＝2.设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝＋a9q2＝＋2q2≥2＝8，当且仅当＝2q2，即q＝时取等号，其最小值为8.答案83．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是______．解析由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3…，，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，∴Sn＝＋2＋3…＋＋n＝＝1－n，∵n∈N*，∴≤Sn<1.答案二、解答题4．(·天津卷)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn≤＋(n∈N*)．(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.(2)证明Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn≤＋S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn≤＋S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn≤＋.
