第4讲平面向量应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于________．解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案12．(·南昌模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是________．解析a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案3.(·扬州模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝________.解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案64．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案5．(·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，则cosB＝________.解析由4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，得4aBC＋3cAB＝－2bCA＝－2b(BA－BC)＝2bAB＋2bBC，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案－6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________.解析由题意知AB·AC＋BA·BC＝2，即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝.答案7．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为________．解析OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，∴OP·OM＝x＋y，OP·ON＝y，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识知，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.答案38．(·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－1二、解答题9．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解设M(x0，y0)，N(x，y)．由MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴∵点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.10．(·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解(1)∵AB·AC＝cbcosA，BA·BC＝cacosB，又AB·AC＝BA·BC，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，AB·AC＝bccosA＝bc·＝＝k，∵c＝，∴k＝1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝(cosα，sinα)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是________．解析由题意，得OA＝OC＋CA＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使直线OA与圆相切时，向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值．答案2．(·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形，且AB＋AD＝AC，|CD|＝，那么四边形ABCD的面积为________．解析如图所示，CD＝AD－AC＝AD－AB，∴CD2＝2，即3＝AD2＋AB2－AD·AB，∵|AD|＝|AB|，∴|AD|2－|AD||AB|cos60°＝3，∴|AD|＝2.又BC＝AC－AB＝AD，∴|BC|＝|AD|＝1，∴|BC|2＋|CD|2＝|BD|2，∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin60°＋×1×＝.答案3.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则AO·BC等于________．解析AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|.所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·BC＝－2＝.答案二、解答题4．(·南通模拟)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解(1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.∴＜＋＜，sin∈.又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.
