第五篇平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若O，E，F是不共线的任意三点，则EF可用OF与OE表示为________．解析由图可知EF＝OF－OE.答案EF＝OF－OE2.(·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于________．解析因为ABCDEF是正六边形，故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF.答案CF3．对于非零向量a，b“，a＋b＝0”“是a∥b”的________条件．解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案充分不必要4．(·大连联考)已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则a、b、c、d四个向量满足的关系为________．解析依题意得，AB＝DC，故AB＋CD＝0，即OB－OA＋OD－OC＝0，即有OA－OB＋OC－OD＝0，则a－b＋c－d＝0.答案a－b＋c－d＝05．(·宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．解析设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为.答案6．(·湖州月考)给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．解析①中，∵向量AB与BA为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)解析由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－＝－a＋b.答案－a＋b8．(·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.答案－1二、解答题9．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB.即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a与b为不共线的非零向量，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．10．如图，在平行四边形OADB中，设OA＝a，OB＝b，BM＝BC，CN＝CD.试用a，b表示OM，ON及MN.解由题意知，在平行四边形OADB中，BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)＝a－b，则OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b.ON＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)＝a＋b，MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图所示，在△ABC中，已知点D在AB边上，且AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.解析因为CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.答案2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则实数x的取值范围是________．解析设BO＝λBC(λ＞1)，则AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝(1－λ)AB＋λAC，又AO＝xAB＋(1－x)AC，所以xAB＋(1－x)AC＝(1－λ)AB＋λAC.所以λ＝1－x＞1，得x＜0.答案(∞－，0)3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形二、解答题4.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AG.解AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)a＋b.又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋(CA＋CB)＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，∴解得λ＝m＝，∴AG＝a＋b.
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