第6讲正弦定理和余弦定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·盐城模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝________.解析由a2－c2＋b2＝ab，得cosC＝＝＝，所以C＝30°.答案30°2．(·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．解析S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案3．(·新课标全国Ⅱ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．解析由正弦定理＝及已知条件得c＝2，又sinA＝sin(B＋C)＝×＋×＝.从而S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.答案＋14．(·山东卷改编)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.解析由＝，得＝，所以＝，故cosA＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝＝＝2.答案25．(·陕西卷改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形(“”“”填直角、锐角或“”钝角)．解析由正弦定理及已知条件可知sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sin2A＝sinA，又0＜A＜π，sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.答案直角6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．解析由题意知，sinB＋cosB＝，所以sin＝，所以B＝，根据正弦定理可知＝，可得＝，所以sinA＝，又a＜b，故A＝.答案7．(·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.答案或8．(·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB等于________．解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝得sinC＝.由正弦定理＝，得sinB＝＝×＝(或者因为c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝)．答案二、解答题9．(·扬州质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．解(1)由正弦定理，得sinA＝sinC＋sinBcosC，又因为A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin(B＋C)，可得sinBcosC＋cosBsinC＝sinC＋sinBcosC，即cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为S△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.10．(·深圳二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7.(1)求角C的大小；(2)求sin的值．解(1)由余弦定理，得cosC＝＝＝－.∵0＜C＜π，∴C＝.(2)由正弦定理＝，得sinB＝＝＝，∵C＝，∴B为锐角，∴cosB＝＝＝.∴sin＝sinBcos＋cosBsin＝×＋×＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·温岭中学模拟)在锐角△ABC中，若BC＝2，sinA＝，则AB·AC的最大值为________．解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，又∵sinA＝，∴cosA＝，所以AB·AC＝bccosA＝bc≤1.答案12．(·青岛一中调研)在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为________三角形．(“”“”“”填锐角、钝角或直角)．解析由题意可知c＞a，c＞b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.根据余弦定理，得cosC＝＞0，所以0＜C＜，即三角形为锐角三角形．答案锐角3．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________.解析由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.答案2二、解答题4．(·长沙模拟)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.(1)求cosB；(2)若BC·BA＝4，b＝4，求边a，c的值．解(1)由正弦定理和bcosC＝(3a－c)cosB，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB，化简，得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，故sinA＝3sinAcosB，所以cosB＝.(2)因为BC·BA＝4，所以BC·BA＝|BC|·|BA|·cosB＝4，所以|BC|·|BA|＝12，即ac＝12.①又因为cosB＝＝，整理得，a2＋c2＝40.②联立①②解得或
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