第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·郑州模拟)计算cos42°cos18°－cos48°sin18°的结果等于________．解析原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝.答案2．(·湖南师大附中模拟)计算：＝________.解析原式＝＝＝＝＝－4.答案－43．(·湖州模拟)已知sin＝，则cos(π＋2α)的值为________．解析由题意，得sin＝cosα＝.所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝.答案4．(·山东省实验中学诊断)已知cos＝，则sin2x＝________.解析因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，所以sin2x＝2×2－1＝－1＝－.答案－5．(·成都模拟)已知α∈，且cosα＝－，则tan等于________．解析因α∈，且cosα＝－，所以sinα＜0，即sinα＝－，所以tanα＝.所以tan＝＝＝.答案6．(·金华十校模拟)已知tan＝－，且＜α＜π，则等于________．解析＝＝2cosα，由tan＝－，得＝－，解得tanα＝－3，因为＜α＜π，所以解得cosα＝－＝－，所以原式＝2cosα＝2×＝－.答案－7．(·南京模拟)设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________.解析f(x)＝＋sinx＋a2sin＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.答案±8．(·广州模拟)已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝______.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝，∴cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案二、解答题9．(·浙江大学附属中学一模)已知函数f(x)＝cos－sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，且f＝，求f(2α)的值．解(1)f(x)＝cosx＋sinx－cosx＝sinx－cosx＝sin.∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)＝sin.所以f＝sin＝sinα＝，∵α∈，∴cosα＝＝＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝，∴f(2α)＝sin＝sin2α－cos2α＝×－×＝.10．(·苏北三市模拟)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx.(1)求f的值．(2)设α∈(0，π)，f＝－，求sinα的值．解f(x)＝－sin2x＋sinxcosx＝－×＋sin2x＝－＋sin，(1)f＝－＋sin＝0.(2)f＝－＋sin＝－，∴0＜sin＝＜，又∵α∈，∴α＋∈.∴α＋∈，∴cos＝－，∴sinα＝sin＝×＋×＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝________.解析因为α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝＝.答案2．(·潍坊模拟)已知α，β∈，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是________．解析由tan(α＋β)＝4tanβ，得＝4tanβ，解得tanα＝，因为β∈，所以tanβ＞0.所以tanα≤＝＝，当且仅当＝4tanβ，即tan2β＝，tanβ＝时取等号，所以tanα的最大值是.答案3．(·永康模拟)若sin＝3sin，则tan2α＝________.解析由已知，得sin＝sinα＋cosα＝3cosα，即sinα＝cosα，所以tanα＝，所以tan2α＝＝＝－.答案－二、解答题4．(·广东卷)已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解(1)由题意知f(x)＝2cos的最小正周期T＝10π＝，则ω＝.(2)由(1)知f(x)＝2cos，又α，β∈，f＝－，f＝，即cos＝－，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝＝，sinβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
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