第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及简单应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析由图象可以看出T＝π，∴T＝π＝，因此ω＝3.答案32．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于________．解析将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝π时有y＝sin＝sin.答案3．(·深圳二模)如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，f(x)取得最大值，那么T＝________，θ＝________.解析T＝＝2，当x＝2时，由π×2＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－＋2kπ(k∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝.答案24．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．解析由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2.答案25．(·长春模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为________．解析函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后得到函数为f＝sin＝sin，因为此时函数为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝sin.当0≤x≤≤时，－2x≤－，即当2x－＝－时，函数f(x)＝sin有最小值为sin＝－.答案－6．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.解析由于函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的图象经过坐标原点，由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案7．(·山东省实验中学诊断)已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________.解析函数f(x)＝sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝，所以x＝，关于x＝对称的直线为x＝，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x＝的点平移到x＝，所以φ＝－＝.答案8．(·武汉模拟)设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数(其中0≤t≤24)．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y5.07.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋Asin(ωx＋φ)的图象．最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．解析由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝；函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5，所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin，又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin＝cosφ＝1，即φ＝2kπ(k∈Z)，所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是y＝5.0＋2.5sint.答案y＝5.0＋2.5sint二、解答题9．(·苏州调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图象上有一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．解(1)由题意知：A＝3，ω＝2，由3sin＝－3,得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝.故f(x)＝3sin.(2)f(x)＜等价于3sin＜，即sin＜，于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)，故使f(x)＜成立的x的取值集合为.10．(·济宁测试)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域．解(1)因为f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，由－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos4x，当x∈时，4x∈，所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝－时...
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