第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·无锡调研)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．解析由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零点个数是1.答案12．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．①；②；③；④.解析 f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0.∴f(x)在其定义域上是单调递增函数． f＝e－4＜0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0，f＝e－2＜0，f＝e－1＞0，∴f·f＜0，故选③.答案③3．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．解析当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．答案0或－4．(·朝阳区期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．解析因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有，所以0＜a＜3.答案(0,3)5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．解析依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－lnx，y＝＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.答案x1＜x2＜x36．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a，g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax，则g(x)的零点是x＝0，x＝－.答案0，－7．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案28．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．答案(0,1)二、解答题9．函数f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2；所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．解设f(x)＝3x2－5x＋a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)． f(x)＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，∴即解得－12＜a＜0.∴所求a的取值范围是(－12,0)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在区间是________．①；②(1,2)③；④(2,3)．解析由f(x)的图象知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝lnx＋2x＋a，g(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g·g(1)＜0.答案③2．(·连云港检测)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为________．解析函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|的图象，并利用周期性作出函数f(x)在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f(x)与g(x)的图象有9个交点，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案93．(·天津卷改编)设函数f(x)＝ex＋x－...
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