第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·温州二模)若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为________．解析由f(－1)＝－f(1)，得＝，∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.答案02．(·温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.解析f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.答案－23．(·重庆卷改编)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝________.解析 f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又 lg(log210)＝lg＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg2))＝5，又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.答案34．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为______．解析f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)．答案(－1,0)∪(1,3)5．(·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝________.解析依题意知f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，联立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝.答案6．(·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f＝________.解析因为f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1.答案17．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．解析 f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．∴解得－1≤m＜.答案8．(·临沂模拟)下列函数①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2x中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．解析因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②.答案②二、解答题9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．解当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝10．设f(x)是定义域为R的周期函数，且最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．解(1) f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·昆明模拟)已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2013)＝________.解析由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案2．(·郑州模拟)已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．解析 f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴y＝f(x)关于x＝1对称．又1＜x1＜x2，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函数，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c.答案b＜a＜c3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是________．...
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