第2讲函数的单调性与最值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．解析由2x＋1>0，得x>－，所以函数的定义域为，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是.答案2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．解析当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤.综上，a的取值范围是0≤a≤.答案3．(·南通月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.解析由a>1知函数f(x)在[a,2a]上为单调增函数，则loga(2a)－logaa＝，解得a＝4.答案46．函数f(x)＝2x－的最大值是________．解析由18－3x≥0，得x≤6，又函数f(x)在定义域上显然是增函数，所以当x＝6时，f(x)取最大值f(6)＝12.答案127．(·安徽卷)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.解析∵f(x)＝∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．∴－＝3，∴a＝－6.答案－68．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为______．解析由f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)画出图象，最大值在A处取到，联立得y＝6.答案6二、解答题9．试讨论函数f(x)＝，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．解任取－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，x－1＜0，x－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0，∴＞0，因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时函数为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数．10．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．解(1)任取x1＞x2＞0，则x1－x2＞0，x1x2＞0，∵f(x1)－f(x2)＝－＝－＝＞0，∴f(x1)＞f(x2)，因此，函数f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，∴f＝，f(2)＝2，即－2＝，－＝2.解得a＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是________．①y＝cosx；②y＝－|x－1|；③y＝ln；④y＝ex＋e－x解析对于①，结合余弦函数的图象可知，y＝cosx在[－1,0]上是增函数；对于②，注意到当x＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y＝－|x－1|在[－1,0]上不是减函数；对于③，注意到函数y＝ln＝ln在[－1,0]上是增函数；对于④，当x∈[－1,0]时，y′＝ex－e－x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，填④.答案④2．(·南阳一中月考)函数y＝－(x－3)|x|的递减区间是________．解析y＝这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(－∞，0)和(，＋∞)．答案(－∞，0)和(，＋∞)3．已知函数f(x)＝(a＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．解析法一任取2＜x1＜x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝＜0恒成立，即当2＜x1＜x2时，x1x2＞a恒成立，又x1x2＞4，则0＜a≤4.法二f(x)＝x＋，f′(x)＝1－＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，由已知条件得≤2，解得0＜a≤4.答案(0,4]二、解答题4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵对任意实数x均有f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
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