第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是________．解析根据存在性命题的否定为全称命题知．答案∀x∈∁RQ，x3∉Q2．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则p∧綈q为________，p∨q为________．(填“真”或“假”)解析 p为真，∴綈p为假．又 q为假，∴綈q为真，∴“p且綈q”为真，“p或q”为真．答案真真3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是________命题(填“真”、“假”)．解析命题的否定是∃x∈R，sinx≥2，所以是假命题．答案假4．下列命题中的假命题是________．①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝；③∀x∈R，x3＞0；④∀x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lgx＝0，故命题“∃x∈R，lgx＝0”是真命题；当x＝时，tanx＝，故命题“∃x∈R，tanx＝”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．答案③5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案q1，q46．命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是________．答案∃x∈R，ex＞x7．若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．答案綈p，綈q8．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.答案[－8,0]二、解答题9．分别指出“p∨q”、“p∧q”、“綈p”的真假．(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有两组对边相等．(2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的解；q：3是方程x2－4x＋3＝0的解．(3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.解(1)p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(2)p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(3)p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．10．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．解 函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1.即p：0＜c＜1， c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1.又 f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.即q：0＜c≤， c＞0且c≠1，∴綈q：c＞且c≠1.又 “p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩＝.②当p假，q真时，{c|c＞1}∩＝∅.综上所述，实数c的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是________．①∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；②∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；③∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减；④∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点．解析对于①，当α＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立；对于②，当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数；对于③，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝，满足条件；对于④，令lnx＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．答案②2．(·衡水二模)已知命题p：“∃x∈R，使得x2＋2ax＋1＜0成立”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析“∃x∈R，x2＋2ax＋1＜0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解，∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．(·宿州检测)给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”...
