第2讲命题及其关系、充要条件基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________．解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．答案若q，则p2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜33．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件．解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1.答案充分不必要4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．答案充分必要6．(·盐城调研)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.答案充分不必要7．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．解析当c2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2＞bc2，则a＞b”，逆命题正确，则否命题也正确．答案28．(·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x>2”是“<”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案①②二、解答题9．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．解原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0.∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．10．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，qp，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．解析否命题既否定题设又否定结论．答案若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数2．设a，b都是非零向量．下列四个条件①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|中，使＝成立的充分条件是________．解析对于①，注意到a＝－b时，≠；对于②，注意到a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于③，当a＝2b时，＝＝；对于④，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠，综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.答案③3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1,3；当n＝4时，方程有整数根2.答案3或4二、解答题4．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q等价于p⇒q，且qp.记p：A＝{x||4x－3|≤1}＝，q：B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0|＝{x|a≤x≤a＋1}，则AB.从而且两个等号不同时成立，解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.
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