——能力提升练导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．(·襄阳调研)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．60°D．120°解析由y′＝3x2－2得y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°.答案B2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2>0，则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4>0，知x>－1.答案B3．定积分(ex＋2x)dx的值为()．A．1B．e－1C．eD．e＋1解析(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝e.答案C4．已知函数f(x)＝2lnx－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是()．A．x－y＋2＝0B．x＋y＋2＝0C．x＋y－2＝0D．x－y－2＝0解析易知f′(x)＝－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2－f′(1)，∴f′(1)＝1，因此f(x)＝2lnx－x，∴f(1)＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝1·(x－1)，即x－y－2＝0.答案D5．(·济南质检)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()．A．2B．3C．6D．9解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，且a>0，b>0，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9.答案D6．(·青岛模拟)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此法可以探求得知的一个单调递增区间为()．A．(0，e)B．(2,3)C．(e,4)D．(3,8)解析将函数两边求对数得lny＝lnx，两边求导数得＝－lnx＋·＝(1－lnx)，所以y′＝y·(1－lnx)＝．令y′>0，即1－lnx>0，∴0
0，知f(x)在R上是增函数， f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0.∴函数f(x)的零点a∈(0,1)．由g′(x)＝＋1>0(x>0)，得g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝ln1＋1－2<0，g(2)＝ln2>0，∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，从而00时，f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析由条件，得f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－＝ex，令g′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，g′(x)>0；当00，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值．答案D二、填空题11．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．解析依题意得，f′(x)＝2ax＋＝0(x>0)有实根，所以a＝－<0.答案(－∞，0)12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析由题意得切...
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