第4讲平面向量应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()．A．1B．－1C.D.解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案A2．(·南昌模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()．A.B.C．2D.解析a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案B3.(·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝()．A．4B．6C．1D．2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案B4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()．A．－B．－C.D.解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.答案D5．(·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，则cosB＝()．A．－B.C.D．－解析由4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，得4aBC＋3cAB＝－2bCA＝－2b(BA－BC)＝2bAB＋2bBC，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案A二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________.解析由题意知AB·AC＋BA·BC＝2，即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝.答案7．(·南通一调)在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|AB＋AC|＝|BC|，则＝________.解析易知满足|AB＋AC|＝|BC|的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是＝|BA|·cos∠ABC＝1×cos60°＝.答案8．(·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－1三、解答题9．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解设M(x0，y0)，N(x，y)．由MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴ 点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.10．(·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解(1) AB·AC＝cbcosA，BA·BC＝cacosB，又AB·AC＝BA·BC，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0， －π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，AB·AC＝bccosA＝bc·＝＝k， c＝，∴k＝1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝(cosα，sinα)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()．A.B.C.D.解析由题意，得OA＝OC＋CA＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使直线OA与圆相切时，向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值，故选D.答案D2．(·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形，且AB＋AD＝AC，|CD|＝，那么四边形ABCD的面积为()．A.B.C．3D.解析如图所示，CD＝AD－AC＝AD－AB，∴CD2＝2，即3＝AD2＋AB2－AD·AB， |AD|＝|AB|，∴|AD|2－|AD||AB|cos60°＝3，∴|AD|＝2.又BC＝AC－AB＝AD，∴|BC|＝|AD|＝1，∴|BC|2＋|CD|2＝|BD|2，∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin60°＋×1×＝，故选B.答案B二、填空题3．(·苏锡常镇二调)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________．解析|a|＝，|b|＝1，|a＋xb|≥|a＋b|对一切实数x恒成立，两边平方整理得x2＋2a·bx－2a·b－1≥0对一切实数x...
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