第3讲平面向量的数量积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝()．A．2B．(0,4)C．4D．(1,4)解析a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案C2．(·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC在AB方向上的投影为()．A.B.C．1D．2解析如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos60°＝2×＝1.答案C3．(·山东省实验中学诊断)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝()．A．－3B．－2C．－1D．1解析由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.答案A4．(·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()．A.B.C.D.解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.∴2|b|2·cos
＋|b|2＝0，∴cos＝－，又∈[0，π]，∴＝.答案A5．(·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．A.B．2C．5D．10解析∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD，∴S四边形＝＝＝5.答案C二、填空题6．(·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝＋1－t＝1－.由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.答案27．(·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC·AB＝－3x＋3y＝0，解得x＝y.又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得结合x＝y，解得λ＝2.答案28.(·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，＝60°，则|OA|＝________.解析因为＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.答案三、解答题9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2.综上，可知|a－b|＝2或2.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3)∵AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·青岛一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为()．A.B.C.D.解析由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝＝.所以θ＝.答案B2．(·昆明调研)在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()．A．垂心B．内心C．外心D．重心解析假设BC的中点是O.则AC2－AB2＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案C二、填空题3．(·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析因为e1·e2＝cos＝，所以b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.所以＝＝，设t＝，则1＋t2＋t＝2＋≥，所以0＜≤4，即的最大值为4，所以的最大值为2.答案2三、解答题4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是∪.
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