第1讲平面向量的概念及其线性运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()．A.EF＝OF＋OEB.EF＝OF－OEC.EF＝－OF＋OED.EF＝－OF－OE解析由图可知EF＝OF－OE.答案B2.(·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于()．A．0B.BEC.ADD.CF解析因为ABCDEF是正六边形，故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF.答案D3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案A4．(·开封模拟)下列命题中，正确的是()．A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．若ka＝0，则k＝0或a＝0D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|解析对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C.答案C5．(·兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()．A.B.C.D.解析设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.答案C二、填空题6．(·湖州月考)给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．解析①中， 向量AB与BA为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤ 共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－＝－a＋b.答案－a＋b8．(·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.答案－1三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解AD＝(AB＋AC)＝a＋b；AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB.即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又 a与b为不共线的非零向量，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则OA＋OB＝OM，∴OP＝(OM＋2OC)＝OM＋OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则实数x的取值范围是()．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析设BO＝λBC(λ＞1)，则AO＝AB＋BO＝AB...
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