第7讲解三角形应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.答案B2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为()．A．300mB．450mC．300mD．600m解析如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，AD＝300m，由正弦定理，得＝，解得cos2α＝，则sin2α＝，sin4α＝，所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300sin4α＝300×＝450(m)．答案B3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()．A．100mB．400mC．200mD．500m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．答案D4．(·广州调研)如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()．A.B.C.D.解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.答案A5．(·哈尔滨模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案B二、填空题6．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为______千米．解析由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝(千米)．答案7.(·杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.解析设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得＝，∴v＝32nmile/h.答案328．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.解析过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)．答案500(＋1)三、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得＝，所以BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.10.(·石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋A...
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