第13讲定积分与微积分基本定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(ex＋2x)dx等于()．A．1B．e－1C．eD．e＋1解析(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.答案C2．(·济南质检)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()．A.B．1C.D.解析由题意知S＝＝－＝.答案D3．(·广州模拟)设f(x)＝sintdt，则f的值等于()．A．－1B．1C．－cos1D．1－cos1解析∵f＝＝1，∴f＝f(1)＝sintdt＝(－cost)＝1－cos1.答案D4.如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝，所围成的图形(阴影部分)的面积为()．A.B.C.D.解析由x2＝，得x＝或x＝－(舍)，则阴影部分的面积为S＝＝＋＝.答案D5．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()．A．44JB．46JC．48JD．50J解析力F(x)所做的功为10dx＋(3x＋4)dx＝20＋26＝46(J)．答案B二、填空题6．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围是________．解析∵(kx＋1)dx＝＝k＋1，∴2≤k＋1≤4，∴≤k≤2.答案7.如图所示，是一个质点做直线运动的v－t图象，则质点在前6s内的位移为________m.解析由题图易知v(t)＝∴s＝v(t)dt＝tdt＋dt＝t2＋＝6＋3＝9.答案98．(·江西卷改编)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为________．解析S1＝x2dx＝x3＝，S2＝dx＝ln2，S3＝exdx＝e2－e，∵e2－e＝e(e－1)>e>>ln2，∴S2＜S1＜S3.答案S2＜S1＜S3三、解答题9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求f(x)dx的值．解∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.∴f(x)dx＝＝－18.10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得交点(1,1)，解方程组得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2＝1＋－＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()．A．2B．3C．4D．6解析dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1，∴a2＋lna－1＝3＋ln2，则a＝2.答案A2．(·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()．A.B.C.D.解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.答案D二、填空题3．(·广州调研)若f(x)＝则f(2014)＝________.解析当x>0时，f(x)＝f(x－4)，则f(x＋4)＝f(x)，∴f(2014)＝f(2)＝f(－2)，又∵＝，∴f(2014)＝f(－2)＝2－2＋＝.答案三、解答题4.如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解(1)由f(x)＝，∴f′(x)＝.又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝，因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，∴点B(－2,0)．故S＝－2dx－dx
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