第10讲变化率与导数、导数的计算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()．A．－1B．－2C．2D．0解析f′(x)＝4ax3＋2bx， f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.答案B2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()．A．2B．6C．－2D．4解析如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.答案A3．(·济南质检)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()．A．2B．－2C．－D.解析 y′＝＝－，∴y′|x＝3＝＝－，∴－a＝2，即a＝－2.答案B4．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为()．A．－2B．3C．2或－3D．2解析设切点坐标为(x0，y0)， y′＝x－，∴＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，解得x0＝2或－3(舍)．答案D5．(·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()．A.B.C.D．1解析y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.答案A二、填空题6．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析 f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′sin＋cos，∴f′＝－1，∴f＝(－1)cos＋sin＝1.答案17．(·南通一调)曲线f(x)＝ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析f′(x)＝ex－f(0)＋x⇒f′(1)＝e1－f(0)＋1⇒f(0)＝1.在函数f(x)＝ex－f(0)x＋x2中，令x＝0，则得f′(1)＝e.所以f(1)＝e－，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋f(1)＝ex－，即y＝ex－.答案y＝ex－8．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是________．解析y′＝x2＋2bx＋4， y′≥0恒成立，∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.答案[－2,2]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.(2) 曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围是∪.10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(2)由已知得a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－， 1≤x≤2，∴g′(x)<0，∴g(x)在[1,2]上是减函数．g(x)min＝g(2)＝，∴a>，即实数a的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·北京西城质检)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()．A．1B．3C．－4D．－8解析依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．由y＝，得y′＝x.∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②联立①，②得点A(1，－4)．答案C2．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()．A．A>B>CB．A>C>BC．B>A>CD．C>B>A解析记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．由图象得，A>B>C.答案A二、填空题3．(·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的...
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