第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·西安高新一中测试)方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为()．A．2B．3C．1D．4解析构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象如图，由图可知有两个交点．答案A2．(·福州质检)若方程lnx＋x－5＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一实根，则a的值为()．A．5B．4C．3D．2解析设函数f(x)＝lnx＋x－5(x＞0)，则f′(x)＝＋1＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(3)·f(4)＝(ln3＋3－5)(ln4＋4－5)＝(ln3－2)(ln4－1)＜0，故函数f(x)在区间(3,4)上有一零点，即方程lnx＋x－5＝0在区间(3,4)上有一实根，所以a＝3.答案C3．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()．A．0B．－C．0或－D．2解析当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．答案C4．(·朝阳区期末)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有，所以0＜a＜3.答案C5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()．A．x2＜x1＜x3B．x1＜x2＜x3C．x1＜x3＜x2D．x3＜x2＜x1解析依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－lnx，y＝＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.答案B二、填空题6．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a，g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax，则g(x)的零点是x＝0，x＝－.答案0，－7．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案28．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．答案(0,1)三、解答题9．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的范围．解依题意：要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得＜a＜.故实数a的取值范围是.10．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且满足f(1)＝0.(1)若函数f(x)有两个不同的零点，求b的取值范围；(2)若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不相等的实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．(1)解由题意知b＋c＋1＝0，即c＝－(1＋b)，∴f(x)＝x2＋bx－(1＋b)，若f(x)有两个零点，则f(x)＝0有两个不相等的实根，∴b2＋4(1＋b)＝(b＋2)2＞0，∴b≠－2.即b的取值范围是{b|b∈R且b≠－2}．(2)证明设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]则g(x1)＝[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2， f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＜0，∴g(x)＝0必有一根属于(x1，x2)，即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一实根属于(x1，x2)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在区间是()．A.B．(1,2)C.D．(2,3)解析由f(x)的图象知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝lnx＋2x＋a，g(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g·g(1)＜0，故选C.答案C2．已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3.若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为()．A．2或－7B．2或－8C．－8或－7D．－2或－8...
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