第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()．A．4B．3C．2D．1解析由奇函数的概念可知y＝x3，y＝2sinx是奇函数．答案C2．(·温州二模)若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为()．A．0B．1C．2D．4解析由f(－1)＝－f(1)，得＝，∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.答案A3．(·哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝()．A．0B．1C．－1D．2解析由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f＝－f.又y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，因此f＝0.答案A4．(·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2014)等于()．A．2012B．2C．2013D．－2解析 f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2014)＝－2.答案D5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()．A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案C二、填空题6．(·温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.解析f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2.答案－27．(·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f＝________.解析因为f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1.答案18．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．解析 f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．∴解得－1≤m＜.答案三、解答题9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．解当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．解(1) f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·昆明模拟)已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2013)＝()．A．1B．－1C.D．－解析由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期是4，故f(2013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案C2．(·郑州模拟)已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()．A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c解析 f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴y＝f(x)关于x＝1对称．又1＜x1＜x2，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函数，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c.故选A.答案A二、填空题3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是________．解析由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：当3＜x＜4...
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