第2讲两条直线的位置关系分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·扬州调研)“直线：x＋(a－1)y＋1＝0与直线：ax＋2y＋2＝0”垂直的充要条件是________．解析由a＋2(a－1)＝0，得a＝.答案a＝2．(·泰州模拟)若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是________．解析当三条直线交于一点时，a＝；当x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝3；当2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝－6.故a满足的条件是a≠且a≠－6且a≠3.答案a≠且a≠－6且a≠33．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________．解析所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率为－，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案x＋2y－5＝04．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．解析由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.答案35．(·南通、扬州、泰州二模)若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．解析由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.答案16．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)≥＝(3＋2)＝，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.8．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，又∵l过点P(0,1)．所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.分层训练B级创新能力提升1．(·苏州二模)若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．答案42．(·绍兴模拟)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.答案3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，则两条直线l1：xsin2A＋ysinA＝a与l2：xsin2B＋ysinC＝c的位置关系是________．解析已知2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，可得sin2B＝sinAsinC，故＝，又＝，所以两直线重合．答案重合4.(·南通二模)如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0∞，＋)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：PM·PN为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．(1)证明设P(x0>0)．则PN＝x0，PM＝＝，因此PM·PN＝1.(2)解直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋.解方程组得x＝y＝x0＋，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝PN·ON＋PM·OM＝x0＋≥＝＋1＋，当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN的最小值为1＋.
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